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\documentclass[a4paper, 10pt]

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\title{Das Klassische N-Körper-Problem}

\begin

\maketitle \par

\section{Das N-Körper-Problem} Für die Energieauswertung haben wir N = 100 Teilchen beobachtet. Dabei wurde der Zeitschrittparameter \eta = 0.05 verwendet und die Integration bis zur Zeit t_{end} = 1 durchgeführt.\ \ \begin[H] \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption \end \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption \end

\end

\begin[H] \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption \end \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption \end

\end

\begin[H] \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption \end \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption \end

\end \begin[H] \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption{Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung} \end \begin{0.5\textwidth} \includegraphics[width = \textwidth] \caption{Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung} \end

\end

\noindent Die Betrachtung der Laufzeit zeigt, dass der Rechenaufwandt exponentiell mit zunehmender Teilchenzahl steigt.\ \ Für \eta = 0.05 und eine Gesamtzeit von \pi ergeben sich im Vergleich für 2 und 100 Teilchen die folgenden Messwerte: \begin \begin \textbf & \textbf{Laufzeit für N = 2} & \textbf{Laufzeit für N = 100}\ Euler & 0.053s & 723s\ Euler-Cromer & 0.048s & 746s\ Leap-Frog & 0.094s & 1426s\ Verlet & 0.056s & 674s\ Runge-Kutta (2. Ordnung) & 0.012s & 23.5s\ Runge-Kutta (4. Ordnung) & 0.031s & 34.5s \ Hermite & 0.052s & 187s\ Hermite, zeitumkehrbar & 0.040s & 149\

\end{tabular}

\end Hierbei sei angemerkt, dass die Berechungen mit verschiedenen Laptops durchgeführt wurden, sodass es teilweise zu großen Unterschieden in der CPU Zeit kam. \end